Рельеф Земли - отклонения геоида

Следствия:

Влияние аномалий гравитационного поля Земли на динамику Мирового океана - Геоид - Гравитация - Карта Земли после сдвига полюса на 17 градусов - Категория:Погрешности модели рельефа - Решение геометрического искажения - Тяпкин, 1998 - Тяпкин, Довбнич, 2009 - Тяпкин 2012, Идентичность структурообразования континентов и океанов - Тяпкин 2012, Изменение положения оси вращения в теле Земли: причина, механизм и использование

^{комментарии в LiveJournal} Нарисуем форму Земли математически точно.

Известно, что Земля - это эллипсоид с искажениями. Искажения называются "отклонениями геоида" (по английски "geoid undulations").

Модель геоида

Ожидаемые отклонения геоида согласно английской и русской википедий находятся в диапазоне 192,4 м от -107 м до +85,4 м.

Погрешностью высоты в 1 м, вызванной выбором модели отклонений геоида, пренебрегаю.

Использование GIS

Пытался нарисовать карту в геоинформационной системе (называю в дальнейшем GIS). Использовал бесплатную GIS GRASS. Наткнулся на ограничение: медленное преобразование карт при изменениях датума. GIS вроде как и поддерживают расчет наклона оси вращения оси, но в GRASS этих настроек не нашел. Также выяснилось, что при интенсивном изменении датума скорость GIS существенно падает. А моделировать изменение скорости и угла вращения Земли нужно обязательно.

Поэтому рисую карты самодельными алгоритмами.

Земля Файл:Earth.gif

Мерцания на береговых линиях показывает погрешности преобразования между равнопромежуточной и HEALPix проекциями. Палитры цветов получены из GRASS: water и модифицированной gyr.

Формула эллипсоида

Беру формулу эллипса в полярных координатах из википедии - . Подставляю в данные Earth2014 - и тут меня ожидало разочарование: диапазон отклонений геоида оказался на 50 метров больше ожидаемого. Вместо 192м я получил 250м.

Проверил параметры эллипсоида: Earth2014 использует GRS80, википедия - WGS84, но радиусы у них идентичны (радиус оси экватора a = 6 378 137,0 м; радиус полярной оси b = 6 356 752,3141 м).

Оказалось, что не ту формулу эллипса я взял. Нужно брать формулу (файл Hirt_Rexer2015_Earth2014.pdf) от автора данных Earth2014 - Кристиана Херта.

Алгоритм

Алгоритм расчета отклонений геоида выглядит так:

    protected override double GetAltitude(HealCoor pixel)
    {
        var a = 6378137d; // big axis, angle is measured from here
        var b = 6356752.3141;
        var e_2 = 1 - (b * b) / (a * a);

        var altitude = Relief.GetAltitude(pixel);
        var altitudeShape = ReliefBed.GetAltitude(pixel) + 6371000;

        var angle = Math.PI / 2 - pixel.Theta.Value;
        var sin_2 = Math.Sin(angle) * Math.Sin(angle);
        var ellipsoid = a * Math.Sqrt((1 - e_2 * (2 - e_2) * sin_2) / (1 - e_2 * sin_2));
        var undulation = altitudeShape - ellipsoid - altitude;
        return undulation;
    }

При его выполнении нашел закладку от Кристиана Херта. Я почти отправил ему письмо про как бы ошибку, но подумав, уразумел, что это просто "защита от дурака".

Смысл в том, что представляя данные двумя вариантами: в точности 1 минута дуги и 5 минут дуги, Christian Hirt публикует файлы в равнопромежуточной проекции. А известно, что отклонения геоида версии EGM96 сделаны в сферических функциях. Преобразования между ними нетривиальные, поэтому предполагаю, что для неподготовленной публики он преобразовал EGM96 в равнопромежуточную проекцию красиво , надеясь, что полезные данные в такой точности не будут использоваться из-за испорченностей

Я уже начал сомневаться в выборе проекции HEALPix для расчетов, но потом глянул данные Earth2014 в точности 1 минута дуги. Оказалось, что там EGM96 преобразована для расчетов правильно , а в равнопромежуточной проекции отклонения геоида визуально испорченны

Мне не нужна равнопромежуточная проекция для расчетов, поэтому использую проекцию HEALPix и данные точностью 1 минута дуги, как и планировалось.

Результат

В точности HEALPix k=10 (12,6 миллионов тазиков) диапазон отклонений геоида равен 195,5м от -107.4м до +88.1м

Отличие в 3,1 метра от ожидаемых отклонений объясняю погрешностью преобразования между равнопромежуточной и HEALPix проекциями до 3 метров и погрешностью данных проекта Earth2014 до 1 метра. Погрешностью 3 метра, вызванной преобразованиями между проекциями, пренебрегаю. Погрешность в 1 м, вызванная выбором модели геоида, не влияет на данный результат.

Анимация

Представляю Землю, деформированную пропорционально отклонениям геоида. Для наглядности деформации преувеличены в десятки тысяч раз.

Использовалась программа PlanetMaker. Вмятости bumpmap - это отклонения геоида в серых оттенках. Нормали normalmap создал с помощью http://cpetry.github.io/NormalMap-Online на основании bumpmap.

Для наглядности материки и острова появляются в виде белых контуров с заливкой или без. (nightlightsonly).