Рельеф Земли - отклонения геоида
комментарии в LiveJournal Нарисуем форму Земли математически точно.
Известно, что Земля - это эллипсоид с искажениями. Искажения называются "отклонениями геоида" (по английски "geoid undulations").
Содержание
Модель геоида[править]
Ожидаемые отклонения геоида согласно английской и русской википедий находятся в диапазоне 192,4 м от -107 м до +85,4 м.
Погрешностью высоты в 1 м, вызванной выбором модели отклонений геоида, пренебрегаю.
Использование GIS[править]
Пытался нарисовать карту в геоинформационной системе (называю в дальнейшем GIS). Использовал бесплатную GIS GRASS. Наткнулся на ограничение: медленное преобразование карт при изменениях датума. GIS вроде как и поддерживают расчет наклона оси вращения оси, но в GRASS этих настроек не нашел. Также выяснилось, что при интенсивном изменении датума скорость GIS существенно падает. А моделировать изменение скорости и угла вращения Земли нужно обязательно.
Поэтому рисую карты самодельными алгоритмами.
Земля Файл:Earth.gif
Мерцания на береговых линиях показывает погрешности преобразования между равнопромежуточной и HEALPix проекциями. Палитры цветов получены из GRASS: water и модифицированной gyr.
Алгоритм[править]
Формула эллипсоида[править]
Беру формулу эллипса в полярных координатах из википедии - . Подставляю в данные Earth2014 - и тут меня ожидало разочарование: диапазон отклонений геоида оказался на 50 метров больше ожидаемого. Вместо 192м я получил 250м.
Проверил параметры эллипсоида: Earth2014 использует GRS80, википедия - WGS84, но радиусы у них идентичны (радиус оси экватора a = 6 378 137,0 м; радиус полярной оси b = 6 356 752,3141 м).
Оказалось, что не ту формулу эллипса я взял. Нужно брать формулу (файл Hirt_Rexer2015_Earth2014.pdf) от автора данных Earth2014 - Кристиана Херта.
Код[править]
Алгоритм расчета отклонений геоида выглядит так:
protected override double GetAltitude(HealCoor pixel)
{
var a = 6378137d; // big axis, angle is measured from here
var b = 6356752.3141;
var e_2 = 1 - (b * b) / (a * a);
var altitude = Relief.GetAltitude(pixel);
var altitudeShape = ReliefBed.GetAltitude(pixel) + 6371000;
var angle = Math.PI / 2 - pixel.Theta.Value;
var sin_2 = Math.Sin(angle) * Math.Sin(angle);
var ellipsoid = a * Math.Sqrt((1 - e_2 * (2 - e_2) * sin_2) / (1 - e_2 * sin_2));
var undulation = altitudeShape - ellipsoid - altitude;
return undulation;
}
Закладка[править]
При его выполнении нашел закладку. Я почти отправил Кристиану Херту письмо про как бы ошибку, но подумав, уразумел, что это просто "защита от дурака".
Смысл в том, что представляя данные двумя вариантами: в точности 1 минута дуги и 5 минут дуги, Christian Hirt публикует файлы в равнопромежуточной проекции. А известно, что отклонения геоида версии EGM96 сделаны в сферических функциях. Преобразования между ними нетривиальные, поэтому предполагаю, что для неподготовленной публики он преобразовал EGM96 в равнопромежуточную проекцию красиво , надеясь, что полезные данные в такой точности не будут использоваться из-за испорченностей
Я уже начал сомневаться в выборе проекции HEALPix, но потом глянул данные Earth2014 в точности 1 минута дуги. Оказалось, что там EGM96 преобразована для расчетов правильно , а в равнопромежуточной проекции визуально испорчена
Мне не нужна равнопромежуточная проекция для расчетов, поэтому использую проекцию HEALPix и данные точностью 1 минута дуги, как и планировалось.
Результат[править]
В точности HEALPix k=10 (12,6 миллионов тазиков) диапазон отклонений геоида равен 195,5м от -107.4м до +88.1м
Отличие в 3,1 метра от ожидаемых отклонений объясняю погрешностью преобразования между равнопромежуточной и HEALPix проекциями до 3 метров и погрешностью данных проекта Earth2014 до 1 метра. Погрешностью 3 метра, вызванной преобразованиями между проекциями, пренебрегаю. Погрешность в 1 м, вызванная выбором модели геоида, не влияет на данный результат.
Анимация[править]
Представляю Землю, деформированную пропорционально отклонениям геоида. Для наглядности деформации преувеличены в десятки тысяч раз.
Использовалась программа PlanetMaker. Вмятости bumpmap - это отклонения геоида в серых оттенках. Нормали normalmap создал с помощью http://cpetry.github.io/NormalMap-Online на основании bumpmap.
Для наглядности материки и острова появляются в виде белых контуров с заливкой или без. (nightlightsonly).