Основы вычислительного теплообмена и гидродинамики, 2010

Следствия:

Категория:Алгоритм моделирования рельефа - Деформации - Категория:Интегрирование - Метод конечных объёмов

lw:Simulate world ocean#basis

Одной из причин применения тензорной формы записи является то, что она более короткая. Часто это помогает лучше уловить физический смысл математического выражения... Одним из самых главных в тензорной записи является свёртка или условие о суммировании, введённое Эйнштейном... Символ Кронекера... формулы векторной алгебры и анализа в тензорных обозначениях...

... все силы можно сразу разделить на объёмные и поверхностные. К объёмным силам относят силы тяготения, электрические силы, магнитные силы и т.п. Не вдаваясь в природу объёмной силы, будем обозначать её J. Поверхностные силы можно представить в виде тензора напряжений

... Уравнение энергии фактически представляет собой закон сохранения тепла, записанный для элементарного объёма... Каким образом может измениться энтальпия h c T [Дж / кг] = P объёма жидкости? Самое очевидное – из-за потока тепла за счёт теплопроводности... В жидкости может возникнуть объёмное тепловыделение (например, вследствие химической реакции)... Другим важным фактором, влияющим на энтальпию жидкого объёма, являются силы проталкивания... Третьим фактором является наличие работы сил трения. Часть энергии движущейся среды из-за действия этих сил будет переходить в тепло

... процессы тепло- и массообмена с точки зрения механики сплошных сред могут быть описаны системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Эту систему уравнений принято называть уравнениями Навье-Стокса... Уравнения Навье-Стокса могут быть решены в общем виде лишь в некоторых случаях и при ряде допущений. Общего аналитического решения системы этих уравнений пока не получено.

развиты три основных подхода к численному решению уравнений Навье-Стокса.

Метод конечных разностей

Finite Difference Method (FDM). Его суть заключается в прямой замене производных, входящих в исходные уравнения, их дискретными (разностными) аналогами

Метод конечных объёмов

или метод контрольного объёма. В англоязычной литературе он называется Finite Volumes Method (FVM). Основа метода заключается в том, что расчётная область с помощью сетки разбивается на совокупность конечных объёмов. Узлы, в которых ищется решение, находятся в центрах этих объёмов. Для каждого объёма должны выполняться законы сохранения массы, количества движения и энергии... применяется во многих вычислительных гидродинамических (CFD) пакетах, таких как FlowVision, Flow3d, PHOENICS

Метод Конечных Элементов

МКЭ

В англоязычной литературе его называют Finite Elements Method (FEM). Суть метода состоит в приближенном решении вариационной задачи. Для формулировки этой задачи напомним понятие функционала. Оператор I[f(x)] называется функционалом, заданным на некотором множестве функций, если каждой функции f(x) ставится в соответствие определённое числовое значение I[f(x)] [1]. Иными словами, функционал является как бы «функцией он функции». Часто функционалы имеют вид интегралов. Вариационная задача состоит в отыскании такой функции f(x), которой бы соответствовало минимальное значение функционала I[f(x)]... В настоящее время Метод Конечных Элементов нашёл широкое применение при решении задач теплопроводности в твёрдых телах и при расчётах на прочность. Однако он может быть применён и к задачам течения жидкостей и газов (см. например [2]). Известны также методы, которые сочетают в себе черты метода конечных объёмов и метода конечных элементов... Этот подход используют CFD пакеты Ansys CFX, Ansys Fluent, Star-CD, Star-CCM+.

с. 110

Суть МКЭ состоит в том, что рассматриваемая область разбивается на ряд элементов, в каждом из которых задаётся закон изменения температуры. Таким образом, мы ищем температуру в виде набора кусочно-гладких функций координат.

Выбор типа элементов

Выбор типа элементов является первым этапом в решении задачи с помощью МКЭ... Как видно из рисунка, чаще всего применяют элементы треугольной формы (их ещё называют 2-симплексами), четырёхугольники и криволинейные треугольники. При решении трёхмерных зада конечные элементы могут представлять собой тетраэдры (иначе – 3-симлексы), шестигранники, призмы и т.д. Каждому из видов элементов соответствует свой особый вид функций формы.

Производная по времени

с. 43-45

два основных метода решения нестационарных задач. Метод, в котором неизвестные величины на текущем временном шаге выражаются через величины предыдущего временного шага, которые уже известны, называется явным. В неявном же методе величины на текущем временном шаге выражаются друг через друга... Явный метод Эйлера (Euler explicit method)... для случая конвективного теплообмена должен быть ограничен не только шаг по времени, но и шаг пространственной сетки... Неявный метод Эйлера (Euler implicit method)... требует больших вычислительных затрат. Эти затраты особенно ощутимы в задачах с большим количеством ячеек в сетках

Стационарное состояние

Считается, что система, у которой существует стационарное состояние, стремится прийти в него. Таким образом, если мы будем решать нестационарную задачу на достаточно большом промежутке времени, то, в конце концов, получим стационарное решение. Начальные же условия задачи при этом могут быть практически любыми.

Решение системы линейных алгебраических уравнений

уравнений этих столько, сколько ячеек в расчётной сетке...

Каждую из систем этих уравнений можно решать как совместно со всеми другими, так и по отдельности. Когда мы решаем уравнения по отдельности (т.н. раздельный подход, segregated approach), мы рассматриваем только какое-то одно уравнение системы (2.1)-(2.3)... Раздельное решение требует меньше памяти, хотя при этом может возникнуть ряд проблем.

Во-первых, при раздельном решении требуется применять особые приёмы для того, чтобы решения, получаемые для поля давления и для поля скорости, соответствовали друг другу (в англоязычной терминологии это называется термином pressure-velocity coupling, т.е. – «стыковка скорости и давления»). Для этой «стыковки» часто вводят для каждого уравнения системы свою собственную особую сетку (хотя есть подходы, где для всех уравнений используется одна сетка) и специальные формулы для корректировки давления и скорости. Два популярных метода сокращённо называются SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations) и SIMPLER (SIMPLE Revised)...

При совместном решении (coupled approach) все уравнения решаются совместно. Это усложняет задачу, поскольку все уравнения в системе (2.1)- (2.3), кроме уравнения (2.1) теперь нелинейны. Для их решения требуется больше ресурсов, однако при использовании этого подхода часто удаётся добиться более быстрой сходимости решения, чем при раздельном решении.

lw:Simulate world ocean#Модели турбулентности

Струйка краски будет отчетливо видимой вдоль всей стеклянной трубы, что указывает на слоистый характер течения жидкости и на отсутствие перемешивания. Такой режим движения называется ламинарный... при определенной скорости течения наступает быстрое ее изменение. Струйка краски по выходе из трубки начинает колебаться, затем размывается и перемешивается с потоком воды, причем становятся заметными вихреобразования и вращательное движение жидкости. Такое течение называется турбулентным... Если силы инерции превышают на какой-то порядок (определяемый критическим числом Рейнольдса) силы вязкости, течение переходит к турбулентному режиму... когда силы вязкости малы по отношению к силам инерции, течение теряет устойчивость. Ведь на самом деле случайные и хаотические процессы происходят в жидкости постоянно, даже в условиях, когда она никуда не движется или течёт в ламинарном режиме (вспомните, что такое броуновское движение). Однако когда силы вязкости достаточно высоки, любые флюктуации очень быстро угасают. Вязкость не даёт им развиться. Напротив, когда вязкость мала, любое случайное возмущение не угасает, а наоборот может даже усиливаться. Так происходит вихреобразование, так течение становится турбулентным.

...потребность в вычислительных ресурсах растёт примерно пропорционально кубу из числа Рейнольдса в рассматриваемом течении