Рельеф Земли - координаты

Следствия:

Выбор разрешающей способности HEALPix - Категория:Погрешности модели рельефа

^{комментарии в LiveJournal}

Сетка координат

Метод расчета требует разбиения гидросферы и литосферы на части. Берём сферу с центром в центре Земли. Делим её на сферические четырехугольники одинаковой площади [math]\Omega_{pix}[/math] (HEALPix площадь пикселя). Направление осей координат, как в Блендере: Z вверх, X к наблюдателю, Y вправо.

Подбирая радиусы для конкретных точек поверхности, делим гидросферу на многогранники, похожие на прямые призмы.

Пусть такие многогранники из четырехугольными плоскими основаниями называются "тазиками" (по-английски "basin").

Боковые рёбра у "тазиков" есть отрезками радиуса Земли.

Пример

Рассмотрим пример: в середине находится "тазик", а его соседи называются "северный сосед" и "южный сосед". Для наглядности выбрано высокое разрешение сетки HEALPix, при котором основания (верхняя и нижняя грани) кажутся квадратами.

Геоид равномерно покрывает "тазик" и "южного соседа". Это значит, что они сбалансированы, и движений воды не будет. "Северный сосед" возвышается над геоидом, поэтому алгоритм моделирования рельефа будет выливать воду из него.

При просмотре нижних граней, видно, что тазики углубляются в литосферу равномерно, независимо от сбалансированности с геоидом.

Ускорение свободного падения

Уравнение Сомильяны для [math]\overset{\rightarrow}g[/math] относительно эллипсоида совместимо с данными проекта Earth2014, который публикует форму геоида через расстояния от центра Земли. Погрешностью 1 метр на 1 квадратную милю, вызванной эмпирическими данными проекта Earth2014, пренебрегаю.

Поскольку в формуле [math]U_g={m}{g}{h}[/math] ускорение g не всегда направлено к центру Земли (g=g_Earth+a, где [math]\overset{\rightarrow}a[/math] - центробежное ускорение), то нужно выделить вертикальную его часть, которую обозначим символом g_Ver, и перпендикулярную, которую обозначим символом g_Hor.

Балансирование

Рассмотрим взаимодействие сбалансированных "тазика" и "южного соседа" из предыдущего примера. Предполагаем, что g_Ver у соседей одинаков, а их необщие грани сбалансированы извне, то есть кажутся твердыми.

"Южный сосед" выше "тазика" на высоту delta_H, а вода "тазика" имеет ускорение g_Hor, направленное в сторону "южного соседа".

Почему вода не движется при таком положении "тазиков"?

Объяснение

Вспоминаем закон Паскаля: Гидростатическое давление жидкости с постоянной плотностью в однородном поле тяжести (= несжимаемая жидкость) p = ρ*g*h

Погрешностью 30 м высоты Мирового океана, вызванной сжимаемостью воды, пренебрегаю.

В нашем случае давление "южного соседа" на грань delta_H равно ρ*g_Ver*delta_H. Поскольку вода не движется, то значит "тазик" тоже давит на эту грань delta_H. Давление "тазика" равно g_Hor*m_тазика / Ω_{общей грани} (сила воздействия "тазика", разделенная на площадь общей грани). Такое воздействие объясняется законом Паскаля: Давление, производимое на жидкость или газ, передается в любую точку без изменений во всех направлениях.

Представив массу "тазика" m_тазика как произведению его объёма V на плотность ρ, получим равенство давлений ρ*g_Ver*delta_H = g_Hor*V*ρ / Ω_{общей грани}

ρ можно сократить, если предполагать, что плотность воды в соседних "тазиках" на разных глубинах одинакова. Погрешностью, вызванной одинаковой плотностью воды на глубинах для соседних "тазиков", пренебрегаю. Поскольку плотность воды зависит от её солености и температуры, то погрешностью, вызванной соленостью и температурой воды, пренебрегаю - как следствие закон сохранения энергии, а именно первое начало термодинамики, может нарушаться.

Формула

g_Ver*delta_H = g_Hor*V / Ω_{общей грани}

Это равенство похоже на формулу гидроудара.

Попытка упрощения

Объём "тазика" V равен произведению [math]\Omega_{pix}[/math] на высоту H_тазика при достаточно высоком разрешении сетки координат.

Получим равенство g_Ver*delta_H = g_Hor*Ω_pix*H_тазика / Ω_{общей грани}