Матричные преобразования

Материал из Common History development
Перейти к навигации Перейти к поиску

Переход к новой системе координат (базису)[править]

метод перехода от одного базиса к другому... разложить векторы «пришлой власти» по базису... Коэффициенты разложений напрашивается записать в матрицу... перехода... чтобы выразить новые координаты через старые... нужно найти обратную матрицу. Так как векторы базиса линейно независимы, то определитель и обратная матрица заведомо существует... если определитель матрицы перехода от одного базиса к другому больше нуля, то базисы ориентированы одинаково (оба левые или оба правые), в противном случае они имеют разную ориентацию... если одна из прямоугольных систем левая, а другая правая, то в двух местах следует поменять знаки

Как мне использовать матрицы для перехода из одной системы координат в другую?... чтобы найти матрицу поворота, которая бы отобразила одну матрицу на другую. Математически это будет так: Mfinal = Mrot . Morig... задача состоит в поиске матрицы Mrot... = Mfinal . Morig Таким образом, нужную матрицу можно вычислить, умножив обратную матрицу в оригинальной системе на финальную матрицу вращения... Единожды посчитанная, матрица вращения может быть превращена в кватернион

Перенос[править]

Перенос может быть осуществлен с помощью матричного умножения лишь при использовании 4х4 матриц.

Поворот[править]

вращение в трёхмерном пространстве может быть представлено как композиция поворотов вокруг трёх ортогональных осей (например, вокруг осей декартовых координат). Этой композиции соответствует матрица, равная произведению соответствующих трёх матриц поворота.

Рыск, качение и тангаж это термины аэронавтики для поворота в Эвклидовой системе координат (Углах Эйлера), относительно местной системы координат самолета... Фиксация - проблема, появляющаяся при использовании углов Эйлера... К примеру, если вращать объект в порядке Z,Y,X и повернуть по оси Y на 90 градусов. В этом случае, вращение по оси Z будет произведено первым, а значит, будет проведено, верно. По оси Y также корректно. Однако после вращения по Y, ось X будет вращаться по оси Z. Так что любое вращение по X на самом деле будет вращать по Z. Единственное решение этой проблемы - использовать Кватернионы

Собственные векторы[править]

одному и тому же линейному преобразованию в разных базисах в общем случае соответствуют разные матрицы... И наиболее удобным из них как раз и является базис из собственных векторов (в случае его существования)... у матрицы существует ровно собственных значений